Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)

Transformasi Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang ‘ memetakan ’ tiap titik P pada bidang menjadi P ’ pada bidang itu pula . Titik P ’ disebut bayangan atau peta titik P

Jenis-jenis Transformasi
a. Tranlasi*)
b. Refleksi
c. Rotasi*)
d. Dilatasi*)
*) yang dibahas kali ini
o Tranlasi
o artinya pergeseran

Jika translasi T = memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b ditulis dalam bentuk matrik:
Contoh 1
Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5).Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T =
Bahasan (0,0) -> (0 + 1, 0 + 3) 0’(1,3) (3,0) -> (3 + 1, 0 + 3) A’(4,3) (3,5) -> (3 + 1, 5 + 3) B’(4,8) X y O
Contoh 2
Bayangan persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25 oleh translasi T = adalah….
Bahasan X P (-1,3)
o Karena translasi T = maka
o x’ = x – 1 -> x = x’ + 1.….(1)
o y’ = y + 3 -> y = y’ – 3…..(2)
o dan (2) di substitusi ke x 2 + y 2 = 25
o diperoleh (x’ + 1) 2 + (y’ – 3) 2 = 25;
o Jadi bayangannya adalah:
o (x + 1) 2 + (y – 3) 2 = 25
Contoh 3
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7,-8). Bayangan kurva y = x 2 + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….
Bahasan Misalkan translasi tersebut T = Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8) 1+ a = 7 -> a = 6 -5+ b = -8 -> b = -3
a = 6 dan b = -3 sehingga translasi tersebut adalah T = Karena T = Maka x’ = x + 6 -> x = x’ – 6 y’ = y – 3 -> y = y’ + 6
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x 2 + 4x – 12 y’ + 3 = (x’ – 6) 2 + 4(x’ – 6) – 12 y’ + 3 = (x’) 2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12 y’ = (x’) 2 – 8x’ – 3 Jadi bayangannya: y = x 2 – 8x – 3
o Rotasi
o artinya perputaran
o ditentukan oleh
o pusat dan besar sudut putar
o Rotasi Pusat O(0,0)
o Titik P(x,y) dirotasi sebesar 
o berlawanan arah jarum jam
o dengan pusat O(0,0) dan
o diperoleh bayangan P’(x’,y’)
o maka: x’ = xcos - ysin
o y’ = xsin + ycos
Jika = ½ π ( rotasinya dilambangkan dengan R ½ π ) maka x’ = -sudut putar y dan y’ = x dalam bentuk matriks: Jadi R ½ π =
Contoh 1
o Persamaan bayangan garis
o x + y = 6 setelah dirotasikan
o pada pangkal koordinat dengan
o sudut putaran +90 o , adalah….
o Pembahasan
o R +90 o berarti: x’ = -y -> y = -x’
o y’ = x -> x = y’
o disubstitusi ke: x + y = 6
o y’ + (-x’) = 6
o y’ – x’ = 6 -> x’ – y’ = -6
o Jadi bayangannya: x – y = -6
Contoh 2
o Persamaan bayangan garis
o 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan
o pada pangkal koordinat dengan
o sudut putaran -90 o , adalah….
o Pembahasan
o R -90 o berarti:
o x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
o y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
o x’ = 0 – y(-1) = y
o y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
o dengan matriks:
R -90 o berarti: x’ = y -> y = x’ y’ = -x -> x = -y’ disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0 2(-y’) - x’ + 6 = 0 -2y’ – x’ + 6 = 0 x’ + 2y’ – 6 = 0 Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0
Jika sudut putar  = π ( rotasinya dilambangkan dengan H ) maka x’ = - x dan y’ = -y dalam bentuk matriks: Jadi H =
o Contoh
o Persamaan bayangan parabola
o y = 3x 2 – 6x + 1
o setelah dirotasikan
o pada pangkal koordinat dengan
o sudut putaran +180 o , adalah….
o Pembahasan
o H berarti: x’ = -x -> x = -x’
o y’ = -y -> y = -y’
o disubstitusi ke: y = 3x 2 – 6x + 1
o -y’= 3(-x’) 2 – 6(-x’) + 1
o -y’ = 3(x’) 2 + 6x + 1 (dikali -1 )
o Jadi bayangannya:
o y = -3x 2 – 6x - 1
o Dilatasi
o Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.
Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala k didapat bayangan P’(x’,y’) maka x’ = k x dan y’ = k y dan dilambangkan dengan [O, k ]
o Contoh
o Garis 2x – 3y = 6 memotong
o sumbu X di A dan memotong
o sumbu Y di B. Karena dilatasi
o [O,-2], titik A menjadi A’
o dan titik B menjadi B’.
o Hitunglah luas segitiga OA’B’
o Pembahasan
o garis 2x – 3y = 6
o memotong sumbu X di A(3,0)
o memotong sumbu Y di B(0,2)
o karena dilatasi [O,-2] maka
o A’( k x, k y)-> A’(-6,0) dan
o B’( k x, k y) -> B’(0,-4)
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar: Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’ = ½ x 6 x 4 = 12 X Y
o 4
o 6
O
 A
B
Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k bayangannya adalah x’ = k( x – a) + a dan y’ = k( y – b) + b dilambangkan dengan [P (a,b) , k ]
o Contoh
o Titik A(-5,13) didilatasikan
o oleh [P,⅔] menghasilkan A’.
o Jika koordinat titik P(1,-2), maka
o koordinat titik A’ adalah….
o Pembahasan
o A(x,y) A’(x’,y’)
o x’ = k (x – a) + a
o y’ = k (y – b) + b
o A(-5,13) A’(x’ y’)
[ P (a,b) , k ] [P (1,-2) ,⅔]
x’ = k (x – a) + a y’ = k (y – b) + b A(-5,13) A’(x’ y’) x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3 y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8 Jadi koordinat titik A’(-3,8) [P (1,-2) ,⅔]
o Transformasi Invers
o Untuk menentukan bayangan
o suatu kurva oleh transformasi
o yang ditulis dalam bentuk
o matriks, digunakan
o transformasi invers
o Contoh
o Peta dari garis x – 2y + 5 = 0
o oleh transformasi yang
o dinyatakan dengan matriks
o adalah….
o Pembahasan
o A(x,y) A’(x’ y’)
o Ingat: A = BX maka X = B -1 .A
Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’
x = 3x’ – y’ dan y= -2x’ + y’ disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0 3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0 3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0 7x’ – 3y’ + 5 = 0 Jadi bayangannya: 7x – 3y + 5 = 0

http://www.slideshare.net/guest6ea51d/transformasi-translasi-rotasi-dan-dilatasi-3068689